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Introduction to Special Relativity

   特殊相対性理論の紹介

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   萩原良昭の著書の補足資料( Appendix_3-1-2 ) です。

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     人工知能パートナー(AIPS)を支える   

       デジタル回路の世界

    
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ISBN 978-4-88359-339-2 C3055

本体 9000円+税 

B5サイズ 上製 475ページ (ハードカバー)

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  書籍の出版社の紹介  

 TEL: 042-765-6460(代)   青山社

https://www.seizansha.co.jp/ISBN/ISBN978-4-88359-339-2.html


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Appendix 3-1-2  
     
              Field Tensor F[ ][ ] と Maxwell の方程式

       本書 「デジタル回路の世界」の (pp.182~192)  の補足資料です。

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特殊相対性理論

     
            ものごとは見る立場によって違って見えます。
  
          同じものと思っていても実は違って見える場合があります。

          しかし、まわりの人は動いていても、自分の立場から見ると、
 
         自分自身はいつも自分の世界の中心にいて静止しています。


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 (1)座標系の定義

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宇宙の中心はどこにあるのでしょうか?
 あなたの見る宇宙の中心はあなた自身です。
     あなたは宇宙の中心にいます。

自分自身の固有の時空間の中心で生きています。
      世界中の人、一人ひとりが
    このすばらしい宇宙の中心にいます。

自分自身の固有の時空間の中心で生きています。


まず、座標系の定義から始めます。




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(A) 観察者Aの座標系


まず、観察者Aの座標系の定義です。

観察者Aの座標系の原点を0とします。

観察者Aの座標系のX軸を観測者Aの前方に取ります。

観察者Aの座標系のY軸を左手方向に取ります。

観察者Aの座標系のZ軸を頭上方向に取ります。

さらに観察者 A の固有時間 t を含ませると A の座標系は A( x, y, z , t ) となります。


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(B) 観察者Bの座標系


観察者Bの座標系の原点をO’とします。

観察者BのX’軸を観測者Bの前方方向に取ります。

ここで観察者AのX軸座標とBのX’軸座標の間で
 
次の線形関係式が成り立つとします。

X’ = α X + β t   ... (1) とします。

観察者BのY’軸を観測者Bの左手方向に取ります。

Y’ = - Y         ... (2) となります。

観察者BのZ’軸を観測者Bの頭上方向に取ります。

Z’ = Z    ... (3) となります。


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  観察者 A の座標系の定義

X 軸(前方)
Y 軸(左手)
Z 軸(頭上)

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  観察者 B の座標系の定義

X’ 軸(前方)
Y’ 軸(左手)
Z’ 軸(頭上)

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 さらに観察者 B の固有時間 t’ を含ませると

 Bの座標系はB( x’ , y’, z’ , t’ ) となります。

 ここで、時計の進む速さは観察者によって違うとします。

 観察者AとBの固有時刻 t と t’ の間で

 次の線形関係式が成り立つとします。


      t’ = γ X + δ t ... (4)


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X’ = α X + β t ... (1)

Y’ = - Y ... (2)

Z’ = Z ... (3)

t’ = γ X + δ t ... (4)

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次に2つの座標系の同等性について考察を続けます。


 Aにとっての、自分の固有時間 t を含んだA( x , y, z , t ) 座標系の形と、
 
 Bにとっての、自分の固有時間 t’ を含んだB( x’ , y’, z’ , t’ ) 座標系の形は、
     
まったく同じ形をしているとします。

これを 「2つの座標系は同等である」 と言います。


2つの座標系は、同等・同一で対称的です。

2つの座標系の変換式は、同じ物理定数で、

同じ形式で、記述することができるはずです。

これを座標系の相対性といいます。




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Aの座標系( t, X, Y, Z) から見たBの座標系( t', X', Y', Z')
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X’ = α X + β t ... (1)

Y’ = - Y ... (2)

Z’ = Z ... (3)

t’ = γ X + δ t ... (4)

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Bの座標系( t', X', Y', Z') から見たAの座標系( t, X, Y, Z)
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X = α X' + β t' ... (5)

Y = - Y' ... (6)

Z = Z' ... (7)

t = γ X' + δ t' ... (8)

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 (2)光の速度 C は不変(普遍)~約3億m/sec~約30万Km/sec


   
C = 299792458 m/sec

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     座標系の相対性と光の速度の不変(普遍)性から、

    後は高校数学でLorentz 変換式を導くことができます。

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          Lorentz 変換式

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X’ = α ( X - v t ) ... (9)

Y' = - Y ... (10)

Z' = Z ... (11)

t’ = α ( v X / c | 2 - t ) ... (12)

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X = α ( X' - v t' ) ... (13)

Y = - Y' ... (14)

Z = Z' ... (15)

t = α ( v X' / c | 2 - t' ) ... (16)

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条件③: α = - 1 / sqrt ( 1 - ( v/c ) | 2 ) ... (17)

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変換式の対称性からの考察 Step(1) :


X’ = α X + β t = α ( α X’ + β t’ ) + β ( γ X’ + δ t’)

= ( α | 2 + β γ ) X’ + ( α β + β δ ) t’


t’ = γ X + δ t = γ ( α X’ + β t’ ) + δ ( γ X’ + δ t’ )

= ( γ α + δ γ ) X’ + ( γ β + δ| 2 ) t’



変換式の対称性からの考察 Step(2) :



( α| 2 + β γ ) = 1 ; ( α β + β δ ) = 0 ;

( γ α + δ γ ) = 0 ; ( γ β + δ| 2 ) = 1 ;


変換式の対称性からの考察 Step(3) :



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条件① : δ = - α  ; γ = ( 1 - α | 2 ) / β ;

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初期状態 t = t’ = 0 の時 の考察


初期時刻  ( t = t’ = 0 ) には A と B の原点 O と O’ は 同じ位置 にあるとします。

すなわち、時刻が t = t’ = 0 の時、位置が X = X’ = 0 とします。

その後、お互いから遠ざかる場合を考えます。


事象(A)の定義(観察者BがAの動きを観察する場合)

事象(A)の定義とは、単純にA の場所と時間におきる出来事や現象のことです。

観察者B から見て、A は、B のX’軸正の方向に速度 V で遠ざかるとします。

A の原点 O の座標値 X=0 は、B の座標系では X’ = v t’ に対応します。



Aの事象( X=0; t=t ) をBが見ると、 X = 0 ; X’ = v t’ となります。

   X = α X’ + β t’   ;  t = γ X’ + δ t’  ;

から、  0 = α v t’ + β t’ を得ます。


したがって、 

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条件②: β = - α v  ; を得ます。

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次に、原点から出た光の事象 (event)=(その位置と時刻)
  
  光は観察者AのX軸の正の方向に進むとする。

観察者 A から見た 光 の位置 X = c t  ;

観察者 B から見た 光 の位置 X’ = - c t’ ;


X’ = α X + β t ;

  t’ = γ X + δ t ;


より、次式を得る。

- c t’ = α c t + β t  ;

t’ = γ c t + δ t ;


よって次式を得る。

   t’ / t = γ c + δ = - α - β / c ;


  c ( 1 - α| 2 ) /( - α v ) - α = - α + α v / c ;

- c ( 1 - α | 2 ) / α v = α v / c ;

( 1 - α| 2 ) = - ( α v / c ) | 2 ;

1 = α| 2 ( 1 - ( v / c ) | 2 )


よって次式を得る。

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条件③: α = - 1 / sqrt ( 1 - ( v/c ) | 2 ) ... (17)

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条件 ①+②+③ より、

γ = ( 1 - α| 2 ) / β = ( α| 2 - 1 ) / α v = α ( α - 1 ) / α v = α v / c ;


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条件④ : γ = α v / c | 2 ;

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条件 ①+②+④ より、

X’ = α ( X - v t ) ;

t’ = α ( v X / c | 2 - t ) ;


X = α ( X’ - v t’ ) :

t = α ( v X’ / c | 2 - t’ ) ;


これで最終的に Lorentz 変換式が求まりました。

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  (3)時間の進む速さ

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座標系Aも座標系Bも動いている相手の時間がゆっくり進む様に見える!

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座標系Aから見て、 動いて見える物体Bの時間(t’)はゆっくり進みます。

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事象B ( X=vt ; t=t ; ) --> Δt’/Δt = - 1/α = sqrt( 1 - ( v / c ) | 2 ) < 1 ;


事象Bということは観察者はAの場合である。


車を運転する運転手(B)からは、自分の固有時間の速さは不変だが、

地上にいる人(A)の固有時間(t)に対して、Aが見る車(B)の時計(t’) は

ゆっくり進んでいるように見える。


A から見てBが動いて見えます。
 
  A の固有時刻 t に対して、  Bの時刻 t’ は A から見て

 t’ / t = - 1/ α  = sqrt( 1 - ( v / c ) | 2 ) < 1 ; となり、

B の時刻 t’ はゆっくり進んでいる ように観察者Aからは見えます。

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座標系Bから見て、 動いて見える物体Aの時間(t)はゆっくり進みます。

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事象A ( X'=vt' ; t'=t'; ) --> Δt/Δt' = - 1/α = sqrt( 1 - ( v / c ) | 2 ) < 1 ;


事象Aということは観察者はBの場合である。


車を運転する運転手(A)からは、自分の固有時間の速さは不変だが、

地上にいる人(B)の固有時間(t')に対して、Bが見る車(A)の時計(t) は

ゆっくり進んでいるように見える。


B から見てAが動いて見えます。
 
  B の固有時刻 t ' に対して、  Aの時刻 t は B から見て

 t / t ' = - 1/ α  = sqrt( 1 - ( v / c ) | 2 ) < 1 ; となり、

A の時刻 t はゆっくり進んでいる ように観察者Bからは見えます。

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事象(C)の定義

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    事象(C)とは、単純に飛んでゆく光の先端の、

    場所と時間におきる出来事や現象の事とします。


    原点から出た光の事象 (event)=(その位置と時刻) :


     たとえば、次の場合を考えます:


      観察者 A から見た 光 の位置 X = c t

      観察者 B から見た 光 の位置 X’ = - c t’


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まず、 次の関係から、

    X’ = α ( X - v t ) :

   t’ = α ( v X / c | 2 - t ) ;


次式を得ます:

    - c t’ = α ( c t - v t )    ;

   t’ = α ( v t / c - t )  ;



事象(C) に関して次の関係を得ます。


     t'/t = - X'/X = sqrt ( ( c - v ) / ( c + v ) ) < 1 ;


観察者Aから見て、この光は ( t , X = ct ) に見えるが、

観察者Bから見ると、この光は ( t' , X' = - ct' ) に見えることになる。



観察者Aから見て光が前方に通り過ごして離れていく距離の値Xに対して

観察者Bから見て光が後方に通り過ごして離れていく距離の値X'は短く見える。

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事象(D)の定義

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観察者(A)の座標系で、観察者(D)は X = d で静止しているとする。

今、観察者(A)の座標系で、 t=0 の時、光が原点からX軸正の方向に

出てとする。 X = d = ct ; t = d/c で 光は 観察者(D)に到達する。


この時、Bの観察者は、

X’ = α ( X - v t ) = α ( d - v d/c ) ;

  t’ = α ( v X / c | 2 - t ) = α ( v t / c - t ) ;


となり、

   X’ = α ( 1 - v /c ) d  ;

  t’ = α ( v / c - 1 ) t  ;


より、 同様に、


    t'/t = - X'/X = sqrt ( ( c - v ) / ( c + v ) ) < 1 ;


を得る。


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事象(E)の定義

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観察者(B)の座標系で、観察者(E)は X' = d' で静止しているとする。

今、観察者(B)の座標系で、 t'=0 の時、光が原点からX'軸正の方向に

出てとする。 X' = d' = ct' ; t' = d'/c で 光は 観察者(E)に到達する。


この時、Aの観察者は、

X = α ( X' - v t' ) = α ( d' - v d'/c ) ;

  t = α ( v X' / c | 2 - t' ) = α ( v t '/ c - t' ) ;


となり、

   X = α ( 1 - v /c ) d'  ;

  t = α ( v / c - 1 ) t'  ;


より、 同様に、


    t/t' = - X/X' = sqrt ( ( c - v ) / ( c + v ) ) < 1 ;


を得る。


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事象(H)の定義

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観測者 A  から見て、 観測者 B  は速度 v で動いているとする。

観測者 B  から見て、 観測者 A は速度 v で動いているとする。





今、観察者 B の座標系において X’ = D’に静止している D から

頭上 ( Z’ 軸方向) に向かって、光が高さ H まで飛び、さらに。

反射して D’ に戻ってきたとする。


Δt’ = 観察者 Bが見る経過時間とすると、

光が戻ってくるまでの時間は Δt’= 2H/c  となる。


この事象(H)を観察者 A の座標系で見る.

観察者(D') は速度 v で 観察者(A) から遠ざかっている。

観察者(D')  はこの時間 Δt = ( T2 - T1 ) の間に 

ΔX = v Δt だけ移動したことになる。 


A が観察する光の飛行した距離は、

X=D1 から 点 ( X=D1+(D2-D1)/2 , Y = H ) で反射し、

X=D2 に戻った距離となる。

その距離は、ΔX = c Δt となる。 


従って ( c Δt /2 ) | 2 = ( v Δt /2 ) | 2  +  H | 2   となる。


従って  Δt = ( 2H/c ) / sqrt ( 1 - ( v/c ) | 2 ) となる。





事象(H)の場合も事象(B)と同様に、


  A の固有時刻 t に対して、  Bの時刻 t’ は A から見て

 t’ / t = - 1/ α  = sqrt( 1 - ( v / c ) | 2 ) < 1 ; となり、

B の時刻 t’ はゆっくり進んでいる ように観察者Aからは見えます。


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(3)時間の進む速さ

                 まとめ

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(1) 観察者(A)から動く観察者(B)を見た場合、

    t’ / t = - 1/ α  = sqrt( 1 - ( v / c ) | 2 ) < 1 ; となる。


(2) 観察者(B)から動く観察者(A)を見た場合、

    t / t' = - 1/ α  = sqrt( 1 - ( v / c ) | 2 ) < 1 ; となる。


(3) 観察者(A)の前方(X軸正の方向)に光が進むとき、

    t'/t = - X'/X = sqrt ( ( c - v ) / ( c + v ) ) < 1 ;  となる。


(4) 観察者(B)の前方(X'軸正の方向)に光が進むとき、

    t/t' = - X/X' = sqrt ( ( c - v ) / ( c + v ) ) < 1 ;  となる。

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(4)物体の長さ

     動いている物体(B)の長さは縮んで見えます。

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  観察者A から見て観測者 B が速度 v で動いているとする。


ΔL = ( 座標系Aで観察する、動いている車(B)の長さ) 

ΔL' = ( 座標系 Bで静止している車の固有長を観察者Bが測定した値) 



車の先端の座標 ( t' = t' , X' = 0 ; t = t , X = - vt ; )

車の後端の座標 ( t' = t ', X' = - ΔL' ; t = t , X = - vt +ΔL ; )

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車を運転する運転手(B)からは車の固有の長さ(ΔL' )は変化しないが、

地上にいる人(A)からは車が進行方向に縮んで ( ΔL ) に 見えます。


ΔL /ΔL' = sqrt ( 1 - ( v /c ) | 2 ) < 1


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    以下  工事中で~す。



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